논문

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ISWLS: Novel Algorithm for Image Reconstruction in PET

[cite]10.1109/TITB.2010.2104161[/cite]

1. Introduction

Positron emission tomography (PET)에서 프로젝션 데이터로부터 이미지 재구성을 하는 방법으로 filtered backprojection (FBP)이나 반복적인 재구성(iterative reconstruction) 방법이 그 대안으로 제안되었다. 반복적 재구성 방법은 복잡한 계산량에도 불구하고 더 나은 contrast-to-noise (CNR), signal-to-noise (SNR)을 보여주기 때문에 최근 그 인기가 높아지고 있다.

반복적 재구성 방법은 크게 대수적인(algebraic) 방법과 통계적인(statistical) 방법 두가지로 분류할 수 있다. 대수적인 방법은 Hounsfield에 의해 사용된 방법으로 각 이미지 픽셀의 수만큼의 N의 변수의 값을 디텍터 튜브 수 M만큼의 선형식을 이용하여 풀어내는 방법으로 simultaneous algebraic technique (SART) 이 대표적이다. 통계적인 방법은 Shepp와 Vardi의 expactation maximization maximum likelihood (EM-ML) 방법과 least-squares 방법에 기바한 Image spacereconstruction algorithm (ISRA), weighted least-squares (WLS) 방법 등이 있다.

또한 위의 방법들에 대해서 전체 데이터를 이용하지 않고 일부 데이터집합들만을 이용하여 복원하는 order-subset(OS) 방법을 적용한 OS-ISRA, OS-WLS, OSEM 등의 방법들 또한 연구되었다.

2. Theory

기본적으로 PET의 이미지 재구성은 아래와 같이 튜브로 프로젝션되는 데이터 y와 이미지의 각 픽셀에 해당하는 x간의 선형 식으로 나타낼 수 있다.

$$y = A^Tx$$

여기서 A는 PET 시스템의 특성에 따라 결정되는 행렬로 system matrix 혹은 probability matrix라고도 불리며, 이미지 데이터를 sinogram 도메인으로 투영(project)하는 역할을 한다. 이 행렬의 각 성분 $ \alpha_{ij} $는이미지 픽셀 i에서의 전자의 소멸의 디텍터 라인 j에서 검출될 확률을 나타낸다.

대수적인 반복적 재구성 방법 중 하나인 SART에서 사용되는 업데이트 식은 다음과 같다.

$$\text{SART : } x_i^k = x_i^{k-1} + \frac{\lambda_k}{\sum^M_{j=1}a_{ij}} \sum^M_{j=1}a_{ij} \frac{y_j - \sum^N_{i'=1}a_{i'j}x_{i'}^{k-1}}{\sum^N_{i'=1}a_{i'j}}$$

기타 다른 least-squares를 이용하는 방법들의 업데이트 식은 아래와 같다.

$$\text{ISRA : } x_i^k = x_i^{k-1} \frac{ \sum^M_{j=1} a_{ij}y_j}{\sum^M_{j=1} a_{ij} \sum^N_{i'=1} a_{i'j} x^{k-1}_{i'}}$$

$$\text{WLS : } x_i^k = x_i^{k-1} \sum^M_{j=1} \frac{a_{ij} y_j^2} {(\sum^N_{i'=1} a_{i'j} x_{i'}^{k-1})^2}$$

$$\text{EM-ML : } x_i^k = x_i^{k-1} \sum^M_{j=1} \frac{a_{ij} y_j} {(\sum^N_{i'=1} a_{i'j} x_{i'}^{k-1})}$$

A. ISWLS Algorithm

이제 논문에서 새로 제안하는 ISWLS 방법을 살펴보도록 하자. N개의 픽셀로 이루어진 물체 이미지는 M개의 디텍터 튜브를 통해 검출된다.

ISWLS는 아래 식을 만족하는 x를 찾고자하는 방법이다.

$$\textbf{x} = \arg \min_\textbf{x} \phi(\textbf{x}), \text{ subject to } x_i \geq 0, i=1,2,...,N$$

$$\phi(x) = \sum^M_{j=1} \left[ -\frac{ (y_j - \sum^N_{i=1}a_{ij}x_i)^3}{3} + \left(y_j - \frac{2}{3} \sum^N_{i=1} a_{ij}x_i \right) ( \sum^N_{i=1}a_{ij}x_i)^2 \right]$$

위의 최소화 식은 Kuhn-Tucker 조건에 의해서, $ x_i \frac{\partial \phi(x)}{\partial x_i} |_{\hat{\textbf{x}}}= 0 $을 만족하는 $\textbf{x}$가 그 해이다. 이 식을 풀면 아래와 같다.

$$x_i \sum^M_{j=1} (a_{ij} y_j^2 (\sum^N_{i'=1}a_{i' j} x_i)^2) = 0$$

따라서 위의 식으로부터 유도되는 ISWLS의 업데이트 식은,

$$\text{ISWLS : } x_i^k = x_i^{k-1} \frac{ \sum^M_{j=1}a_{ij}y_j^2}{\sum^M_{j=1}a_{ij} \sum^N_{i'=1} (a_{i' j} x_{i'}^{k-1})^2}$$

와 같다. 또한, 아래는 ISWLS의 OS식이다.

$$\text{OS-ISWLS : } x_i^k = x_i^{k-1} \frac{ \sum_{j \in S_n}a_{ij}y_j^2}{\sum_{j \in S_n}a_{ij} \sum^N_{i'=1} (a_{i' j} x_{i'}^{k-1})^2}$$

3. Results

A. Comparative Evaluation of Simple Algorithms

알고리즘의 평가를 위해서 Derenzo-type 팬텀을 이용하였다. 이는 각각 4.8, 4, 3.2, 2.4, 1.6, 1.2mm 지름을 갖는 rod들이 채워져있다. 이 팬텀을 이용하여 $ 18 \times 10^6 $ 번의 방출을 수집하여 프로젝션 데이터를 만들었으며, 55개의 튜브를 180도를 회전하는 동안 170회 수집하였다. System matrix는 튜브와 이미지가 교차하는 부분이 영역을 이용하여 계산되었다. 이미지가 128 128 크기이기 때문에 이 행렬은 55 170 128 128개의 성분을 가지게 된다.

비교를 위하여 실험한 EM-ML, ISRA, WLS, SART, ISWLS 방법의 초기값은 모두

$$x_{0i} = \frac{\sum^M_{j=1}y_j}{N}, i=1,2,...,N$$

로 같은 값을 사용하였다. $ y_j $는 j번째 sinogram 성분이며 N은 이미지픽셀의 숫자이다.

알고리즘의 성능은 실제 이미지 데이터와 복원된 데이터간의 cross-correlation을 구하여 평가하였다.

Cross-correlation외에도 4.8, 3.2, 1.6mm 지름의 rod주변의 4.55, 3.85, 2.15mm크기의 사각형 영역을 조사하여 CNR 또한 평가하였다.

$$CNR_{ROI} = \frac{R_{obj_{ROI}} - R_{Backg_{ROI}}}{\sigma_{Backg_{ROI}}}$$

B. Comparative Evaluation of OS Versions

OS 방법의 1, 10, 50번 반복의 결과를 이미지를 통해 비교하였다.


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