2. 벡터

2.1 벡터 연산

덧셈과 스칼라곱

벡터의 크기, 성분.
벡터 덧셈, 덧셈의 평행사변형 법칙.
n-벡터에서 i번째 성분은 1이고 나머지 성분은 모두 0인 벡터를 $ e_i$로 표시하고 이를 표준 기저벡터라고 한다.

정리: 벡터 덧셈과 스칼라 곱의 법칙

벡터의 수열로서의 행렬

행렬을 벡터의 수열로 간주하는 경우가 많다.

$$v_1 = \big[ 1 ; 2 \big], v_2 = \big[ 3 ; 4 \big], v_3 = \big[ 1; 2 \big] \\
\big[ v_1, v_2, v_3 \big] = \begin{bmatrix} 1 &3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}$$

일차결합

정의: 일차결합

$ v_1, \dots, v_n $을 n-벡터라 하고, $ c_1, \dots, c_n $을 스칼라라고 하면,
$ c_1, v_1 + c_2, v_2, + \dots, c_n v_n $인 꼴의 n-벡터를 $ v_n$의 일차결합이라고 한다. 이 때 $ c_n $들은 그 일차 결합의 계수라고 한다.

벡터방정식으로서 연립일차방정식

벡터 방정식 $ c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = u $는 확대 계수행렬이 $ v_1, v_2, v_3, u $를 열로 가지는 연립방정식과 동치이다.

연립일차방정식과 일차결합 사이의 관계

미지수 $ x_1, x_2, \dots, x_n $, 계수행렬 $ A $, 상수항이 벡터 $ b $인 연립방정식을 생각해본다면 다음과 같은 동치관계가 있다.

$ [ A: b ] \Leftrightarrow x_1 a_1 + x_2 a_2 + \dots + x_n a_n = b $

중요한 질문 이론과 실제에서 모두, 모든 b에 대하여 확대계수행렬 [A : b] 를 가지는 연립방정식은 비모순체계라고 할 수 있는가? 이것은 한번 더 행간소화를 해봄으로써 답할 수 있다.

정리2

A를 m * n 행렬이라고 한다면 다음은 동치이다.

1. 확대계수행렬이 [A: b]인 연립일차방정식은 모든 벡터 $ b \in R^m $에 대하여 비모순체계이다.
2. 모든 벡터 $ b \in R^m $은 A의 열의 일차결합이다.
3. A는 m피보트 위치를 가진다. 또는 각 행은 피보트 위치를 갖는다.

자유벡터

크기와 방향에 의해서만 결정.

2.2 닷곱

정의: 닷곱

$u = (u_1, \dots, u_n), v = (v_1, \dots, v_n) $를 임의의 두 n-벡터라고 하자. u와 v의 닷곱 $ u \cdot v $는 다음의 수이다.

$$u \cdot v = u_1 v_1 + \dots + u_n v_n$$

만약 두 벡터의 닷곱이 0이면 두 벡터는 직교한다고 한다. 또한 n-벡터 u의 놈 길이 또는 크기는 양의 제곱근 $ ||u|| = \sqrt{u \cdot u} = (u_1^2 + \dots + u_n^2)^{1/2} $ 이다. 또한 u와 v 사이의 (유클리드) 거리는 $ d = || u - v || $ 으로 정의한다.

길이가 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.

정리 3: 주어진 방향의 단위벡터

$ v = (v_1, \dots, v_n) $을 영이 아닌 벡터라 하고 u를 v의 방향의 단위벡터라고 하자. 그러면,

$$u = \frac{1}{||v||} v = (\frac{v_1}{||v||}, \cdots, \frac{v_n}{||v||})$$

정리 4: 닷곱의 성질

1. $ u \cdot v = v \cdot u $
2. $u \cdot (v + w) = u \cdot w + v \cdot w $
3. $c(u \cdot v) = (c u) \cdot v = u \cdot (c v) $
4. $ u \cdot v \geq 0, \text{futhermore } u \cdot v = 0 \Leftrightarrow u = 0 $

정리 5

$ || u +v ||^2 = ||u ||^2 + || v ||^2 + 2 u \cdot v $
$ || u -v ||^2 = ||u ||^2 + || v ||^2 - 2 u \cdot v $

정리 6: 코시-슈바르츠 부등식

$ |u \cdot v | \lte ||u|| ||v|| $
서로 같으려면 u와 v가 서로의 배수이어야 한다.

정리 7: 삼각부등식

$ || u + v || \leq ||u|| + ||v || $

두 n-벡터 사이의 각

$ \cos \theta = \frac{u \cdot v}{ ||u|| ||v|| } $
혹은,
$ u \cdot v = ||u||||v|| cos \theta $

정리 8: 피타고라스 정리

n-벡터 u, v가 직교 한다 $ \Leftrightarrow ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 $

직교사영

닷곱은 임의의 n-벡터를 직교벡터의 합으로 표시하기 위해 사용할 수 있다. u, v를 주어진 영이 아닌 벡터라고 하자.
u를 서로 직교하는 두 벡터의 덧셈으로 $ u = u_{pr} + u_c $ 으로 표시하고 싶다. 그리고 $ u_{pr} = c \cdot v $와 같이 v의 스칼라배이다. 이 때, $ u_{pr} $ 은 v위에서의 u의 직교사영이라 하고, $u_c $를 v에 직교하는 u의 벡터 성분이라고 한다.

$$u \cdot v = (u_{pr} + u_c) \cdot v \\
= u_{pr} \cdot v + u_c \cdot v \\
= (cv) \cdot v + 0 \\
c(v \cdot v) \\
\Rightarrow c = \frac{u \cdot v} {v \cdot v}$$

2.3 생성

정의: 생성

n-벡터 $ v_1, \dots, v_k $의 모든 일차결합의 집합을 $ v_1, \dots, v_k $의 생성이라고 하고 $ \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $으로 표시한다. 만약 $ V = \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $이라면 $ v_1, \dots, v_k $ 는 $ V $를 생성한다고 하고 $\{ v_1, \dots, v_k \} $를 $ V $의 생성집합이라고 한다.

정리 9: 생성집합의 간소화

만약 m-벡터 $ v_1, \dots, v_k $ 중 하나가 나머지의 일차결합이면, 그 생성은 이 벡터를 제거할 때의 생성과 같다.

정리 10

$ V = \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $ 이라고 하자. $ V $의 임의의 $ u $, $ v $와 임의의 스칼라 c에 대하여 다음이 성립한다.

1. $ u + v \in V $ 이다.
2. $c v \in V $ 이다.

생성과 연립일차방정식과의 관계

벡터 $ b \in R^m $이 벡터 $ v_1, \dots, v_n $의 일차결합이라고 하는 것은 $ b \in \text{Span} \{ v_1, \dots, v_n \} $이라고 하는 것과 동치이다. 따라서,

1. 확대계수행렬이 [A : b]인 연립방정식이 비모순체계이다. $ \Leftrightarrow b \in \text{Span} \{ v_1, \dots, v_n \} $
2. 모든 벡터 $ b \in R^m $에 대하여 [A : b]가 비모순체계이다. $ \Leftrightarrow \text{Span} \{ v_1, \dots, v_n \} = R^m $
   이것이 참일 필요충분조건은 A의 각각의 행은 피보트 위치를 갖는다이다.

Span{u}와 Span{u, v}의 기하학적 해석

$ \text{Span} \{ u \}, u \neq 0 $

• 임의의 스칼라 값 $c$에 대하여 $cu$는 $u$를 방향으로 원점을 지나는 직선의 모든 점을 지난다.
• 원점을 지나는 임의의 직선은 그 직선 위의 임의의 영 아닌 벡터를 $u$로 놓음으로써 $ \text{Span} \{ u \} $으로 쓸 수 있다.

$ \text{Span} \{ u, v \}, u \neq 0 $

• 만약 $ v $ 가 $ u $의 스칼라 배이면, $ \text{Span} \{ u, v \} = \text{Span} \{ u \} = l $
• 만약 $ v $ 가 $ u $의 스칼라 배가 아니면, $ v \neq 0 $이고, $ \text{Span} \{ u, v \} $는 $ u, v $ 모두를 포함하는 원점을 지나는 평면이다.

2.4 일차독립

n-벡터 $ v_1, \dots, v_k $의 일차결합,

$$c_1 v_1 + \dots, c_k v_k$$

가 비자명이라는 것은 $ c_1, \dots, c_k$가 모두 영이 아닐 때이다. 모든 계수가 영인 일차결합을 자명이라고 한다.

정의

n-벡터 $ v_1, \dots, v_k$의 수열이 일차종속이다 하는 것은 $ c_1 v_1 + \dots + c_k v_k = 0 $을 만족하는 0이 아닌 스칼라가 존재할 때이다.
n-벡터의 집합이 일차독립이다라는 것은 일차종속이 아닐 때이다. 다시 말하면 $ c_1 v_1 + \dots + c_k v_k = 0 $을 만족하는 스칼라들이 모두 0인 것과 같다.

정리 11

영이 아닌 두 n-벡터의 경우, 다음 명제는 동치이다.

1. 이 벡터는 일차종속이다.
2. 한 벡터는 다른 벡터의 스칼라배이다.
3. 두 벡터 사이의 각은 0 혹은 $ \pi $이다.

정리 12: 일차종속의 판정

다음은 동치이다.

1. m-벡터의 집합 $ \{ v_1, v_2, \dots, v_n \} $은 일차독립이다.
2. 연립방정식은 자명해 $ [ v_1, \dots, v_n : 0 ] $만을 가진다.
3. 행렬은 n피보트 위치 $ [ v_1, \dots, v_n ] $를 가진다.

정리 13

만약 m-벡터의 집합 $ \{ v_1, \dots, v_n \} $이 일차독립이면 $ n \leq m $이다.

정리 14: 일차종속의 판정법

S를 유한집합 혹은 m-벡터의 수열이라고 한다면 다음이 성립한다.

1. 만약 S가 하나의 벡터 v로 되어있다면, S는 일차종속 $ \Leftrightarrow v = 0 $ 이다.
2. 만약 S가 두개 이상의 벡터로 구성되어있다면, S는 일차종속 $ \Leftrightarrow $ 적어도 한 벡터는 나머지 벡터의 일차결합이다.
3. 만약 S가 두개 이상의 벡터 $v_1, \dots, v_k (v_1 \neq 0 ) $로 구성되어있다면, S는 일차종속 $ \Leftrightarrow $ 적어도 한 벡터는 그것의 앞 벡터의 일차결합이다.

정리 15

1. 0을 포함하는 임의의 유한집합 또는 벡터의 수열은 일차종속이다.
2. 반복되는 벡터가 있는 유한 수열은 일차종속이다.
3. 일차종속인 집합(수열)을 포함하는 벡터의 임의의 유한집합(수열) 자신도 일차종속이다.
4. 일차독립인 유한집합의 임의의 부분집합 자신도 일차독립이다.

정리 16

$ S = \{ v_1, \dots, v_n \} $을 m-벡터의 일차독립인 집합이라고 하자.

1. S의 Span에 속하는 임의의 벡터 v는 S의 벡터의 단 한가지의 일차 결합으로 생성된다.
2. 만약 v가 S의 span에 속하지 않는다면 집합 $\{ v_1, \dots, v_n, v\} $는 일차독립이다.

$ R^2 $과 $ R^3 $에서의 일차독립의 기하학적 해석

1. $ R^2 $ 또는 $ R^3 $ 의 영 아닌 두 벡터가 일차종속이다. $ \Leftrightarrow $ 그 벡터는 원점을 지나는 같은 직선 위에 있다.
2. $ R^3 $ 의 세 벡터가 일차종속이다 $ \Leftrightarrow $그 벡터는 원점을 지나는 같은 평면 위에 있다.
3. $ R^2 $ 또는 $ R^3 $ 의 두 벡터의 생성은 벡터가 일차종속일 때 원점을 지나는 직선이다. 또는 벡터가 일차독립일 때 벡터에 의해 정으되는 평면이다.
4. 일차독립인 두 2-벡터의 생성은 $ R^2 $ 이다.
5. 일차독립인 두 3-벡터의 생성은 $ R^3 $ 이다.
6. $ R^3 $ 의 임의의 일차독립인 집합은 최대 세 벡터를 갖는다.
7. $ R^2 $ 의 임의의 일차독립인 집합은 최대 두 벡터를 갖는다.
8. $ R^2 $ 를 생성하는 임의의 집합은 적어도 두 벡터를 갖는다.
9. $ R^3 $ 를 생성하는 임의의 집합은 적어도 세 벡터를 갖는다.

2.5 곱 Ax

만약 $ A= \begin{bmatrix} -2 & 5 & -3 \\ 4 & 7 & 0\end{bmatrix} $ 이고, $ x= \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} $ 이면 곱 $ Ax $는 일차결합

$$-3 \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 5 \\ 7\end{bmatrix} +5 \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

이다. 즉 A의 열과 x로 이루어지는 계수로 생성된다.

정의

A를 열이 $a_1, \dots, a_n$인 m * n 행렬이라고 하고, x의 성분이 $ x_1, \dots, x_n $인 n-벡터라고 할 때, 행렬곱 Ax는 일차결합 $ Ax = x_1 a_1 + \dots, x_n a_n $으로 표시되는 m-벡터이다.

x가 A에 의해 $ R^n $에서 $ R^m$으로 변화한다는 것에 주목하자. 이 때 A는 둘 사이의 대응을 결정한다.

열이 $ e_1, \dots, e_n$인 n * n 행렬을 항등행렬이라고 하고 $I_n$이나 $I$로 표시한다.

정리 17

A를 m * n 행렬, x, y를 n-벡터, c를 임의의 스칼라라고 하면 다음이 성립한다.

1. $ A(x+y) = Ax + Ay$
2. $ A(cx) = c(Ax) $
3. $ I_n x = x $

방정식 Ax = b

연립일차방정식은 Ax = b로 쓸 수 있다. 여기서 A는 계수행렬, b는 상수항 벡터, x는 미지수 벡터이다.

$$[A : b] \Leftrightarrow Ax = b \Leftrightarrow x_1 a_1 + \dots + x_n a_n = b$$

위의에서 다음 명제는 동치이다.

1. [A : b]는 비모순체계이다.
2. Ax = b를 만족하는 벡터 x가 존재한다.
3. b는 A의 열의 일차결합이다.
4. b는 A열의 Span에 속한다.

영공간

m * n 행렬 A의 영공간 Null(A)는 Ax = 0을 만족하는 모든 n-벡터 x로 구성된다.

$$\text{Null}(A) = \{ x \in R^n Ax = 0 \}$$

정리 18

A를 m * n 행렬이라고 하자. 임의의 $ x_1, x_2 \in \text{Null}(A) $과 스칼라 c에 대하여 다음이 성립한다.

1. $ x_1 + x_2 \in \text{Null}(A) $
2. $ c x_1 \in \text{Null}(A) $

Ax = b와 Ax = 0의 해

정리 19

S를 Ax = b의 해집합이라 하고 $ p \in S $이라고 하자. 그러면
$ S = p + \text{Null}(A) $ 이다.

Ax의 행-벡터 계산

곱 Ax에서 때때로 한 성분, A의 i행과 x를 택하여 곱한 뒤 더할 때도 있음.

닷곱으로써의 Ax

Ax는 A의 각 행과 x의 닷곱을 성분으로 하는 벡터이다.

$$Ax = \begin{bmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_m \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} r_1 \cdot x \\ \vdots \\ r_m \cdot x \end{bmatrix}$$

2.6 크로스 곱

오른손 좌표계와 왼손 좌표계

3-공간에서는 오른손 좌표계와 왼손 좌표계의 두 종류가 존재한다.

행렬식 표기법

2 * 2 행렬의 행렬식

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$$

3 * 3 행렬의 행렬식

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} &=
a_1 \begin{bmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{bmatrix} - b_1 \begin{bmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{bmatrix} \\
&= a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2c_3 - c_2 a_30 + c_1(a_2b_3 - b_2 a_3) \end{aligned}$$

크로스곱

정의: 크로스 곱

$ u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3) $인 두 벡터의 크로스 곱은 $u \times v = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1) $인 벡터이다.

정리 20: 크로스 곱의 성질

공간벡터 $ u, v, w $와 c를 임의의 스칼라라고 하면 다음이 성립한다.

1. $ u \times v = -v \times u $
2. $ u \times (v + w) = u \times v + u \times w $
3. $ (u + v) \times w = u \times w + v \times w $
4. $ c (u \times v) = (cu) \times v = u \times (cv) $
5. $ 0 \times u = u \times 0 = 0 $
6. $ u \times u = 0 $
7. $ u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w $
8. $ u \cdot (v \times w) = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} $

만약 u, v가 영이 아닌 벡터이면 $ u \times v $의 방향은 u, v에 의해 정의되는 평면에 수직이고 세 벡터는 오른손 좌표계를 형성한다.

정리 21: 크로스 곱의 길이

$ || u \times v ||^2 = ||u||^2 ||v||^2 - (u \cdot v)^2 $ : 라그랑즈의 항등식
$ || u \times v || = || u || || v || \sin \theta $

따름정리 22

$ || u \times v || \leq || u || || v || $

따름정리 23: 두 벡터의 평행 판정법

영 아닌 두 벡터 u, v 가 평행이다 $ \Leftrightarrow u \times v = 0 $

기하학의 응용

정리 24: 정육면체의 부피

위치 벡터 u, v, w를 이웃하는 변으로 하는 평행육면체의 부피 V는 $ V = | u \cdot (v \cdot w) | $ 이다.

정리 25: 세 벡터의 공면 판정법

벡터 u, v, w 가 같은 평면에 있다 $ \Leftrightarrow u \cdot (v \times w) = 0$ 이다.

2.7 선, 평면과 초평면

직선

영 아닌 벡터 $n = (a, b, c)$에 평행이고 주어진 점 $ p(x_0, y_0, z_0) $을 지나는 직선은, 적당한 스칼라 t에 대해서

$$x = p + tn$$

으로 나타내고 이를 직선의 매개변수방정식이라고 한다. 그리고 t는 방정식의 매개변수이다.

평면

영 아닌 벡터 $ n = (a, b, c)$가 평면 P의 법선이다 라는 것은 그것이 P의 수직일 때이다. 평면 P 위에서 주어진 점 $ p = (x_0, y_0, z_0 )$, 임의의 다른 점 $ x = (x, y, z) $이 있다면, $ x - p $는 평면 P에 평행하고 법선 n에 직교한다. 따라서 x-p와 n의 닷곱은 0이다.

$$n \cdot (x - p) = 0 \\ a(x-x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$

이 식은 평면 P위의 한 점 p와 법선벡터 n으로 평면 위의 모든 점 x에 대해 성립하므로 이를 점-법선형의 평면 P의 방정식이라고 한다.

정리 26: 평면의 방정식

만약 $ (a, b, c) \neq = 0$이면, 방정식 $ ax + by + cz = d $의 그래프는 법선이 $(a, b, c)$인 평면이다.

정의

두 평면 사이의 각은 평면의 두 법선 사이의 각으로 정의한다.

$ R^n $에서의 직선과 초평선

앞의 직선과 평면의 방정식을 n-벡터로 확장시키면 $R^n$에서의 직선과 초평면의 방정식이 된다.

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