4. 벡터 공간

4.1 $ R^n $의 부분공간

$ R^n $의 부분공간

정의 $ R^n $ 의 부분공간

$ R^n $의 공집합 아닌 부분 집합 V가 $ R^n $의 (벡터 또는 선형) 부분 공간이다 라는 것은 그것이 다음 성질을 만족할 때이다.

1. 만약 $u, v \in V $이면 $ u + v \in V $이다.
2. 만약 c는 임의의 스칼라이고, $ u \in V $ 이면 $ cu \in V $이다.

위의 성질 1, 2는 V내의 원소의 일차결합 또한 V의 원소인 것을 의미.
만약 $R^n$의 부분집합 S가 1을 만족하면 S는 (벡터)가법에 닫혀있다고 하고, 2를 만족하면 스칼라곱에 닫혀있다고 한다.

$ R^n $의 임의의 부분공간은 영 벡터 0을 포함한다. $ R^n $의 부분 공간 중 $ \{ 0 \} $인 부분공간을 영 부분공간이라고 하고 $ \{ 0 \} $과 $ R^n $을 $ R^n $의 자명부분공간이라 한다.

정리 1

만약 $ V_1, \dots, v_k$가 n-벡터이면 $ \text{Span}\{v_1, \dots, v_k \}$는 $ R^n $의 부분공간이다.

$ R^n $의 부분공간의 기저

정의 기저

$R^n$의 영 아닌 부분공간 V의 공집합 아닌 부분집합 B가 아지는 V의 기저는 다음을 만족하여야 한다.

1. B는 일차독립이다.
2. B는 V를 생성한다.

$ e_1, \dots, e_n $를 $ R^n $의 표준기저(standard basis)라고 한다.

기저에 관한 좌표

정리 2 좌표의 일의성

V의 부분집합 $ B = \{ v_1, \dots, v_k \} $가 V으 ㅣ기저일 필요충분조건은 V의 각 벡터 v에 대하여 일의적인 스칼라 $ C_1, \dots, c_k $가 존재하여 $ v= c_1 v_1 + \dots, c_k v_k $ 를 만족하는 것이다.

벡터 $ v \in V $를 V의 기저 B의 일차결합으로 표시하는 일의적인 스칼라 $ c_1, \dots, c_k $를 B에 관한 v의 좌표라고 한다. 성분을 $ c_1, \dots, c_k $로 가지는 벡터를 B에 관한 v의 좌표벡터라고 하고 $ \big[ v \big]_B $로 표시한다.

4.2 벡터공간

정의 벡터공간

V를 가법과 스칼라곱을 가지고 있는 집합이라고 하자.
가법은 V의 임의의 두 원소 u, v를 u + v로 표시하는 제 삼의 원소 u와 v의 합에 대응시키는 규칙이다.
스칼라곱은 임의의 실수 스칼라 c와 V의 임의의 원소 u를 cu로 표시하는 u의 c에 의한 스칼라배인 V의 다른 원소에 대응시키는 규칙이다.
그러한 집합 V가 실수 벡터 공간이다 라는 것은 두 연산이 다음 성질을 만족할 때이다.

가법

1. 모든 $ u, v \in V $에 대하여 $ u + v \in V $ 이다.
2. 모든 $ u, v \in V $에 대하여 $ u + v = v + u $ 이다.
3. 모든 $ u, v, w \in V $에 대하여 $ (u + v) + w = u + (v + w) $ 이다.
4. V의 영이라고 하는 일의적인 원소 $ 0 \in V $가 존재하여, 모든 $ u \in V $에 대하여 $ u + 0 = 0 + u = u $를 만족한다.
5. 각각의 $ u \in V $에 대하여 u의 음 또는 u의 반대라고 하는 일의적인 원소 $ -u \in V $ 가 존재하여 $ u + (-u) = (-u) + u = 0 $을 만족한다.

스칼라곱

1. 모든 $ u \in V $와 모든 $ a \in R $에 대하여 $ a u \in V $이다.
2. 모든 $ u, v \in V $와 모든 $ a \in R $에 대하여 $ a (u + v) = a u + a v $이다.
3. 모든 $ u \in V $와 모든 $ a, b \in R $에 대하여 $ (a + b) u = au + bu $이다.
4. 모든 $ u \in V $와 모든 $ a, b \in R $에 대하여 $ a (bu) = (ab)u $이다.
5. 모든 $ u \in V $에 대하여 $ 1u = u $ 이다.

벡터 공간의 원소를 벡터라고 한다.
가법1, 스칼라곱1을 V는 가법과 스칼라곱에 닫혀 있다라고 표현된다.
가법2를 가환법칙, 가법3을 결합법칙, 스칼라곱2와 3은 분배법칙이다.
벡터공간은 그것이 가법4에 의해 영을 가지고 있기 때문에 공집합이 아님을 유의하자.

만약 $ v_1, \dots v_n $은 벡터이고 $ c_1, \dots, c_n $이 스칼라이면, $ c_1 V_1 \dots c_n v_n $의 표현을 일차결합(linear combination)이라고 한다.

정리 3

V는 벡터공간이라고 하자. $ u \in V, c \in R $이라고 하자. 다음은 성립된다.

1. $ 0u = 0 $
2. $ c0 = 0 $
3. 만약 $ cu = 0 $ 이면, $ c= 0 $ 또는 $ u = 0 $ 이다.
4. $ (-c) u = -(cu) $

벡터공간의 예

다음은 벡터공간의 주요 예이다.

1. $ R^n$
2. 성분이 실수인 모든 m * n 행렬의 집합 $ M_{mn} $
3. 계수가 실수인 모든 다항식의 집합 P
4. R위에서 정의된 모든 실수값 함수의 집합 F(R)

부분공간

정의 부분공간

벡터공간V의 부분집합 W가 V의 부분공간이다라는 것은 W 자신의 V의 가법과 스칼라곱 아래서 벡터공간일 때이다.

정리 4: 부분공간의 판정기준

벡터공간 V의 공집합 아닌 부분집합 W가 부분공간일 필요충분조건은,

1. 만약 u, v가 W에 속하면 $ u + v \in W $이다.
2. 만약 c가 임의의 스칼라이고 $ u \in W $이면, $ cu \in W $이다.

$ R^n $의 대응

함수에서 만약 변수와 그것의 거듭제곱을 없애고 명확한 순서로 계수만을 기록하기로 한다면, $ P_n $의 원소는 (n+1)-벡터로 간주할 수 있다. 예를 들면 $ p(x) = 1 + 4x - 2x^2, q(x) = -3 + x^2 \in P_2 $는 3-벡터

$$p\prime = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} \ \ q\prime = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

함수 p와 q를 더하는 것은 p’와 q’를 더하는 것과 대응된다. 또한 임의의 스칼라배 cp 는 cp’ 에 대응된다.

비슷하게 $ M_{mn} $의 원소를 (mn)-벡터로 간주할 수 있다.

4.3 일차독립과 기저

$ v_1, \dots, v_k $의 생성

정의 생성

V를 벡터공간이라 하고 $ v_1, \dots, v_k $를 V의 벡터라고 하자. $ v_1, \dots, v_k $의 모든 일차결합의 집합을 $ v_1, \dots, v_k $의 생성이라 하고 $ \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $으로 표시한다. 만약 $ V = \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $일 때 , $ v_1, \dots, v_k $는 V를 생성한다라고 하고 $ \{ v_1, \dots, v_k \} $를 V의 생성집합이라고 한다.

정리 5

S를 벡터공간 V의 부분집합이라고 하면 다음이 성립한다.

1. Span(S)는 V의 부분공간이다.
2. Span(S)는 S를 포함하는 V의 가장 작은 부분공간이다.

정리 6 생성집합의 최소화

만약 벡터공간 V의 벡터 $v_1, \dots, v_k$ 중의 하나가 다른 것의 일차결합이면 이 생성은 그 벡터를 제거할 때의 생성과 같다.

일차독립

정의

벡터공간 V에서의 벡터 $ v_1, \dots, v_n$의 집합이 일차종속이다라는 것은 모두는 영 아닌 스칼라 $ c_1, \dots, c_n$가 존재하여 $ c_1 v_1 + \dots + c_n v_n = 0 $을 만족할 때이다.
$ v_1, \dots, v_n$가 일차독립이다는 것은 그것이 일차종속이 아닐 때이다. ($ c_1, \dots, c_n = 0$)

정리 7: 일차종속의 판정법

S를 벡터공간 V의 부분집합이라고 하자.

1. 만약 S가 하나의 벡터 v로 되어있다면 S가 일차종속일 필요충분조건은 v = 0 이다.
2. 만약 S가 두 개 혹은 더 많은 벡터 $ v_1, \dots, v_k$으로 구성되어있다면, S가 일차종속일 필요충분조건은 적어도 하나의 벡터는 나머지 벡터의 일차결합이다.
3. 만약 S가 두개 혹은 $ v_1 \neq = 0$인 더 많은 벡터 $v_1, \dots, v_k (k \geq 2)$으로 구성되어 있다면, S가 일차종속일 필요충분조건은 적어도 하나의 벡터는 그것의 앞선 벡터의 일차결합이다.

정리 8

1. 0을 포함하는 벡터의 임의의 집합은 일차종속이다.
2. 두 벡터가 일차종속일 필요충분조건은 하나가 다른 것의 스칼라배이다.
3. 일차종속인 집합을 포함하는 벡터의 임의의 집합은 자신도 일차종속이다.
4. 일차독립인 집합의 임의의 부분집합 자신도 일차독립이다.

정리 9

$ S = \{v_1, \dots, v_n \} $을 벡터공간 V에서의 벡터의 일차독립인 집합이라고 하자.

1. Span{S} 의 임의의 벡터는 S의 벡터의 일차결합으로 일의적으로 표시할 수 있다.
2. 만약 v가 Span{S}에 속하지 않는다면, $ \{ v_1, \dots, v_n, v \}$ 는 일차독립이다.

벡터공간의 기저

정의: 기저

영 아닌 벡터공간 V의 공집합 아닌 부분집합 B가 V의 기저라는 것은 다음을 만족할 때이다.

1. B는 일차독립이다.
2. B는 V를 생성한다.
3. 공집합은 영 공간 {0}의 유일한 기저이다.

정리 10: 기저의 존재

모든 벡터공간은 기저를 가진다.

정리 11: 표현의 일의성

벡터공간 V의 부분집합 $ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $가 V의 기저일 필요충분조건은 각각의 벡터 $ v \in V$에 대하여 일의적인 스칼라 $ c_1, \dots, c_n$가 존재하여 $ v = c_1 v_1 + \dots, + c_n v_n $을 만족하는 것이다.

4.4 차원

정리 12: 교환정리

만약 벡터공간 V가 n개 벡터에 의해 생성되었다면, n개보다 많은 벡터로 된 V의 임의의 부분집합은 일차종속이다. 바꾸어 말하면, V의 임의의 일차독립인 부분집합은 많아야 n개의 벡터를 가진다.

정리 13

만약 벡터공간 V가 n개의 원소로 된 기저를 가진다면, V의 모든 기저는 n개의 원소를 가진다.

정의: 차원

만약 벡터공간 V가 n개로 된 기저를 가진다면 V는 유한차원(finite-dimensional)이라 하고 n을 V의 차원이라고 한다. 이거을 다음과 같이 쓴다.

$$\text{dim}(V) = n$$

정리 14

V를 n-차원 벡터공간이라 하고 S를 m개 원소의 집합이라고 하자.

1. 만약 S가 일차독립이면 $ m \leq n $이다.
2. 만약 S가 V를 생성한다면 $ m \geq n $이다.

정리 15

V를 n-차원 벡터공간이라 하고 S를 n개의 원소의 집합이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 만약 S가 일차독립이면, S는 기저이다.
2. 만약 S가 V를 생성한다면, S는 기저이다.

정리 16

V를 n-차원 벡터공간이라 하고 S를 m개의 원소의 집합이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 만약 S가 일차독립이고 $ m \leq n $이면 S를 기저로 확장할 수 있다.
2. 만약 S가 V를 생성한다면, S는 기저를 포함한다.

정리 17

W를 n-차원 벡터공간 V의 부분공간이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $ \dim (W) \leq n $
2. $ \dim (W) = n $ 일 필요충분조건은 W = V 이다.

$ R^2$와 $R^3$의 부분공간

4.5 좌표벡터와 기저변경

좌표벡터

정의

V를 기저가 $ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $인 유한차원 벡터공간이라고 하자. 4.3 정리 11에 의해, 각각의 $ v \in V $에 대하여 일의적인 스칼라 $ c_1, \dots, c_n $가 존재하여

$$v = c_1 v_1 + \dots + c_n v_n$$

을 만족한다. v의 계수를 성분으로 하는 벡터 $ \big[ v \big]_B = \big[ c_1 ; \dots ; c_n \big ] $ 를 B에 관한 v의 좌표벡터라고 한다.
기저 B가 바뀜에 따라 $ \big[ v \big]_B $도 바뀐다. 또한 $ \big[ v \big]_B $는 B의 원소 순서에 의존한다.

정리 18

$ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $을 유한차원 벡터공간 V으 ㅣ기저라고 하자. $ u, u_1, \dots, u_m $을 V의 벡터라고 하자. 그러면 u가 V에서 $u_1, \dots, u_n $의 일차결합일 필요충분조건은 $ \big[ u \big]_B $가 $ R^n $에서 $ \big[ u_1 \big]_B, \dots, \big[ u_n \big]_B $ 의 일차결합이다.
더욱이 스칼라 $ c_1, \dots, c_n $에 대하여

$$u = c_1 u_1 + \dots + c_n u_n $$일 필요충분조건은,
$$ \big[ u \big]_= c_1 \big[ u_1 \big]_B + \dots + c_n \big[ u_n \big]_B$$

이다.

정리 19

B를 n-차원 벡터공간 V의 기저라고 하자. 그러면 $ \{ u_1, \dots, u_m \} $가 V에서 일차독립일 필요충분조건은 $ \{ \big[ u_1 \big]_B, \dots, \big[ u_n \big]_B \} $ 가 $ R^n$ 에서 일차독립이다.

기저의 변경

정리 18과 19릉 이용하여 유한차원 벡터공간 V의 한 벡터 v를 서로 다른 기저 B와 B’로 표현할 수 있고, 이들 사이의 변환 관계를 다음과 같이 행렬 P를 이용하여 쓸 수 있다.

$$\big[ v \big]_{B \prime} = P \big[ v \big]_B$$

여기서 P는 가역이고 가역행렬은 B’에서 B로 기저를 변환하는 행렬이 된다. 또한 P는 변환 식을 만족하는 유일한 행렬이다.

정리 20: 기저의 변경

$ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $과 $B \prime = \{ v_1 \prime, \dots, v_n \prime \} $을 유한차원 벡터공간 V의 두 기저라고 하자. P를 $ \big[ v_1 ]_{B \prime}, \dots, \big[ v_n ]_{B \prime} $가 열인 n * n 행렬이라고 하자.

$$P = [\big[ v_1 \big]_{B \prime}, \dots, \big[ v_n \big]_{B \prime}]$$

그러면 P는 가역이고 모든 $ v \in V $에 대하여

$$\big[ v \big]_{B \prime} = P \big[ v \big]_B$$

를 만족하는 유일한 행렬이다

정의: 추이행렬

정리 20의 행렬 P를 B에서 B’으로의 추이행렬(transition matrix) 또는 기저변경행렬(change-of-basis matrix)이라고 한다.

4.6 계수와 영공간차원

영공간 차원

행렬 A의 영공간 $ \text{Null}(A) $는 Ax = 0을 만족하는 모든 n-벡터 x로 구성된다. 이 영곤간은 $ R^n $의 부분공간이다. $ \text{Null}(A)$ 의 차원은 A의 영공간차원이라고 한다.

알고리즘: 영 공간의 기저계산

Null(A)의 기저를 구하기 위해서는,

1. 연립방정식 Ax = 0 의 일반해 벡터를 구하여라
2. 매개변수(자유변수)를 계수로 하는 일차결합으로 해벡터를 나타내어라.
3. 일차결합의 벡터는 Null(A)의 기저를 형성한다.

정리 22

행렬 A의 영공간차원은 Ax = 0 자유 변수의 수와 일치한다.

열공간

행렬 A의 열공간 Col(A)는 행렬 A의 열의 Span이다.

정리 23

연립일차방정식 Ax = b 가 비모순계일 필요충분조건은 $ b \in \text{Col}(A) $ 이다.

열공간의 기저

정리 24

만약 $ A \sim B $이면, A의 열과 B의 열은 같은 일차종속 관계를 만족한다.

$$c_1 a_1 + \dots + c_n a_n = 0 \Leftrightarrow c_1 b_1 + \dots + c_n b_n = 0$$

정리 25

임의의 행렬의 피보트열은 그것의 열 공간의 기저를 형성한다.

알고리즘 A Span(S)의 기저 계산

$ S = \{ a_1, \dots, a_n \} \subseteq R^m $ 이라고 하자. Span(S)의 기저는 다음과 같이 구할 수 있다.

1. $ a_1, \dots, a_n $ 을 열로 가지는 m * n 행렬 A를 만들자.
2. A를 행-간소화하여 사다리꼴 B로 만들고 A의 피보트열을 명확히 하여라.
3. Span(S)의 기저는 A의 피보트열의 집합이다.

행공간

정의

행렬 A의 행 공간 Row(A)는 그것의 행 생성이다.

정리 26

만약 $ A \sim B $이면 Row(A) = Row(B) 이다.

정리 27

행사다리꼴 행렬 A의 영 아닌 행은 일차독립이다.

정리 28

행렬 A의 임의의 사다리꼴의 영 아닌 행은 Row(A)의 기저를 형성한다.

계수

정리 29

임의의 행렬 A에 대하여 dim Col(A) = dim Row(A) 이다.

정의 계수

A의 열공간과 행 공간의 공통 차원을 A의 계수라고 하고 Rank(A)으로 표시한다.

계수정리

정리 31

임의의 행렬 A에 대하여, Rank(A) + 영공간차원(A) = A의 열의 수

계수와 연립일차방정식

정리 32

연립일차방정식 Ax = b는 비모순이다. $ \Leftrightarrow $ Rank(A) = Rank([A : b]) 이다.

정리 33

A를 m * n 행렬이라고 하자. 다음은 동치이다.

1. Rank(A) = m
2. A는 m피보트를 가진다.
3. A의 각각의 행은 피보트를 가진다.
4. 연립방정식 Ax = b는 모든 m-벡터 b에 대하여 비모순이다.
5. A의 열은 $ R^n $을 생성한다.
6. Col(A) = $ R^n$
7. dim Col(A) = m
8. dim Row(A) = m
9. 영공간차원(A) = n - m
10. Rank($A^T$) = m

정리 34

A를 m * n 행렬이라고 하자. 다음은 동치이다.

1. Rank(A) = n
2. A는 n피보트를 가진다.
3. A의 각각의 열은 피보트열은 가진다.
4. A의 열은 일차독립이다.
5. 제차연립방정식 Ax = 0 은 자명해만을 가진다
6. Null(A) = { 0 }
7. 영공간차원(A) = 0
8. dim Col(A) = n
9. dim Row(A) = n
10. Rank($A^T$) = n

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