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선형대수 (6)


선형대수, George Nakos 지음, 김철언 외 옮김/인터비젼

6. 행렬식

6.1 행렬식과 여인수 전개

행렬 $ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $ 라고 하자. A의 행렬식은 $ \det(A) = a_{11} a_{22} – a_{12} a_{21} $ 이다.

행렬 $ B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $ 라고 하자. B의 행렬식은 2 * 2 행렬식으로 다시 쓸 수 있다.

$$\det(B) = a_{11} \det \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} –
a_{12} \det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix} + a_{13} \det \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}$$

여인수 전개를 이용하여 임의의 행, 열을 선택하고, 이에 해당하는 소행렬식을 이용한 식으로 전개하여 크기가 큰 행렬의 행렬식을 구할 수 잇다. 따라서 보통 가장 많은 영을 가진 행, 열에 관하여 행렬식을 전개한다. 이러한 방법을 여인수 전개, 라플라스 전개라고 한다.

행렬식의 놀랄만한 기하학

2차원에서의 선형 변환과 이에 해당하는 변환 행렬 A가 있을 경우, 평면을 A로 변환하였을 때 평면의 넓이는 A의 행렬식을 곱한 값으로 변한다.

6.2 행렬식의 성질

정리 1: 기본 성질

A를 n * n 행령리라고 하자.

  1. A와 그것이 전치행렬은 같은 행렬식을 갖는다. : $ \det(A) = \det(A^T) $
  2. B를 A의 한 행(또는 열)에 영 아닌 상수를 곱하여 얻어진 행렬이라고 하자. 그러면 $ \det(B) = k \det(A) $이다.
  3. B를 A의 임의의 두 행(또는 열)을 교환하여 얻어진 행렬이라고 하자. 그러면 $ \det(B) = – \det(A) $
  4. B를 A의 한 행(또는 열)의 배를 다른 행(또는 열)에 더하여서 얻어진 행렬이라고 하자. $ \det(A) = \det(B) $이다.

A를 축척하지 않는 행 간소화로 위 삼각행렬 B로 되는 n * n 행렬이라고 하자. det(A)를 변하게 하는 유일한 연산은 교환이다. 따라서 $ \det(A) = (-1)^k \det(B) $ 이다. 여기서 k는 간소화 과정에서 교환한 수이다. 간소화 후의 B가 갖는 주 대각선 위에 있는 n 피보트를 $ P_1, \dots, P_n $이라고 하자. 그렇다면 아래 정리를 따른다.

정리 2

$ \det(A) = (-1)^k P_1 P_2 \dots P_n $ : A가 가역일 때, \
$ \det(A) = 0 $ : A가 비가역일 때.

정리 3

n * n 행렬 A가 가역일 필요충분조건은 $ \det(A) \neq 0 $ 이다.

정리 4

정사각 제차연립방정식 Ax = 0 이 비자명해를 가질 필요충분조건은 $ \det(A) = 0 $ 이다.

정리 5

  1. 만약 A가 영 행(또는 열)을 가진다면, $ \det(A) = 0 $ 이다.
  2. 만약 A가 일치하는 두 행(또는 열)을 가진다면, $ \det(A) = 0 $이다.
  3. 만약 A가 서로의 배수인 두 행(또는 열)을 가진다면 $ \det(A) = 0 $이다.
  4. 만약 A의 한 행(또는 열)이 다른 두 행(또는 열)의 배수의 합이면 $ \det(A) = 0 $이다.

행렬연산과 행렬식

정리 6: 행의 합

만약 행렬식의 임의의 행(또는 열)의 모든 성분이 다른 두 행(또는 열)의 합이면, 그 행렬식은 두 다른 행렬식의 합이다.

$$\begin{vmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_{3a} + r_{3b} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_{3a} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_{3b} \end{vmatrix}$$

정리 7: 스칼라곱의 행렬식

A를 n * n 행렬이라 하고 k를 임의의 스칼라이라고 하자. 그러면 $ \det(kA) = k^n \det(A) $이다.

정리 8: 곱의 행렬식

행렬 곱의 행렬식은 인자 행렬의 행렬식의 곱이다.

$$\det(AB) = \det(A) \det(B) \\
\det(A_1 A_2 \dots A_m) = \det(A_1) \det(A_2) \dots \det(A_m)$$

정리 9

만약 A가 가역이면 $ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} $

6.3 수반행렬; 크래머의 법칙

수반행렬과 역행렬

정의

A를 n * n 행렬이라고 하자. A의 여인수 $ C_{ij} $를 (i, j) 성분으로 하는 행렬을 A의 여인수 행렬이라고 한다. 그것의 전치 행렬이 A의 수반행렬(adjoint)이고 Adj(A) 라고 표시한다.

정리 10

A를 n * n 행렬이라고 하자. 그러면,
$ A \text{Adj}(A) = \det(A) I_n = \text{Adj}(A) A $ 이다.

정리 11: 수반행렬에 의한 역행렬

A를 가역행렬이라고 하자. 그러면, $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) $이다.

크래머의 법칙

Ax = b인 정사각 연립일차방정식이라고 하자. $ A_i $를 A의 i열을 b로 바꾸어서 얻은 행렬을 표시한다고 한다면 정리 12를 만족한다.

정리 12: 크래머의 법칙

만약 $ \det(A) \neq = 0 $이면 연립방정식 $ Ax = b $
$ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)}, \dots, x_n = \frac{\det(A_n)}{\det(A)} $ 으로 주어지는 일의적인 행를 갖는다.

6.4 치환이 있는 행렬식

생략…


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