[cite]http://dx.doi.org/10.1364/OE.18.022010[/cite]

1. Introduction

David L. Donoho가 처음 compressive sensing (CS) 를 제안한 이후로 CS는 의료 영상 분야에서 인기있는 주제가 되었습니다. 아무래도 인체를 대상으로 하다보니 데이터를 적게, 빨리 얻는 것이 중요한 부분이 되었던 것입니다. Optical coherence tomography (OCT) 에서도 이는 마찬가지로 적용될 수 있습니다.

저자는 randomly undersampling된 신호를 임의로 생성하여 OCT에서의 CS를 적용 가능성을 살펴보았습니다.

2. Common path SD OCT and conventional SD OCT signal processing

SD OCT에서의 신호를 얻는 과정을 행렬 식으로 나타내면 아래와 같습니다.

$$\mathbf{y = Fx}$$

F는 푸리에 변환을 수행하는 행렬이고 x는 스캔하려는 샘플의 깊이 정보, y는 스캔 후 획득한 k-space에서의 신호 벡터입니다. 따라서 $ \mathbf{x = F^{-1}y} $를 계산하여 다시 샘플의 깊이 정보를 얻게 됩니다. 사실 이 사이에는, 우리가 스펙트로미터를 통하여 카메라로부터 얻어진 데이터는 k-space에 선형이지 않고 주파수에 선형이기 때문에 보통 k-space에서의 y를 얻기 위한 interpolation 과정이 추가되곤 합니다.

3. Compressed sensing for SD OCT : theory and image reconstrution algorithm

Donoho의 CS 이론에 따르면 x가 적은 수로 구성된 linear combination으로 표현할 수 있다면, 그리고 이 linear combination이 한쪽으로 치우치지 않은 랜덤한 성질을 띄고 있다면 이 x를 정확하게 복구하는 것이 가능하다고 되어있습니다. OCT 에서는 푸리에 변환 후의 k-space에서의 신호들이 linear combination의 계수들이라고 볼 수 있습니다. 이를 식으로 나타낸다면,

$$\mathbf{y_u = F_u x}$$

와 같습니다. $ \mathbf{F_u, y_u} $는 incomplete 푸리에 변환 행렬과 그 결과입니다.

위의 식을 토대로 OCT에 CS를 적용시키려면, x는 우리가 아는 변환 공간 $ \Phi $내에서 sparse representation이 가능하여야 합니다. 여기서 공간 $ \Phi $ 는 현실에서의 실제 물체 정보가 속해있는 아날로그 공간으로부터 양자화 과정을 거친 뒤 디지털로 표현되는 공간을 이야기합니다. OCT에서는 현실의 깊이 정보가 푸리에 변환을 통하여 바로 픽셀로 변환되므로 I를 사용하지만, 용도에 따라서 Wavelet 공간으로 변환시켜주는 변환 행렬을 사용할 수도 있습니다.

이렇게 얻어진 $ \mathbf{y_u} $는 완전한 신호가 아닌 undersampling된 신호이기 때문에 본래 가지고 있던 신호와는 달리 incoherent한 interference 성분이 되어버립니다. 이것을 본래 공간 $ \Phi $로 변환하게 되면 sampling에서 제외된 성분들이 빠져버렸기 때문에 그러한 부분들이 본래 샘플와는 다른 마치 노이즈와 같은 aliasing artifact로 나타나게 됩니다. 이 aliasing artifact는 undersampling된 각 성분에 대한 Transformed point spread function (TPSF) 를 확인하면 됩니다.

$$TPSF(i, j) = e_j \mathbf{ W F_u F_u^+ W^+} e_i$$

다시 처음의 $ \mathbf{y_u = F_u x} $ 식으로 돌아가서, x를 복원하기 위해 $ \mathbf{F_u^{-1}} $ 와 같은 형태를 사용하면 좋겠지만 사실 이는 존재하지 않는 행렬입니다. 이제 이 문제를 CS를 이용하여 정의하면 아래와 같습니다.

$$\text{minimize} \mathbf{|| Wx ||_1}, s.t. \mathbf{||F_u x - y_u ||_2} \lt \epsilon$$

이 식을 unconstrained Lagrangian 형태로 다음과 같이 변환하고,

$$\text{minimize} f(x) = \lambda || \mathbf{Wx} ||_1 + || \mathbf{F_u x - y_u} ||_2$$

conjugate gradients (CG)와 backtracking line-search 방법을 적용하여 풀어내게 됩니다.

4. Result

CS SD OCT에 사용할 random undersampling 데이터를 생성하기 위하여 CCD 카메라에 pseudo-random mask를 사용하여 undersampling을 대신하도록 합니다. 실험에서는 기존 CCD 카메라 픽셀들 중 20 % 정도의 410 픽셀만을 사용하였습니다.

참고로 이렇게 샘플링된 데이터를 이용하여 위의 TPSF를 계산하였더니, 노이즈 부분의 표준 편차가 0.02로 계산되어 CS를 적용하기에 적합한 수치임을 확인하였다고 합니다.

먼저 거울을 샘플로 촬영하였을 때, random sampling과 uniform sampling을 이용하여 undersampling을 한 뒤 복원 결과를 비교하는 실험을 수행하였습니다. uniform sampling의 경우 일정한 구조를 띄는 노이즈가 보이는 것을 확인할 수 있었습니다. 아무래도 uniform sampling으로 인하여 nyquist frequency보다 데이터가 모자라는 현상이 아닐까 생각됩니다. random sampling의 경우 무작위 형태에 가깝게 노이즈가 보이며, CG를 여러번 반복할 수록 노이즈 레벨이 확연히 줄어들어 SNR이 증가하는 것을 확인할 수 있었습니다.

추가로 실제 양파 조직을 픽셀 공간과 Wavelet 공간에서의 표현의 비교, 그리고 각각을 62.5% 50%, 37.5%의 undersampling 끼리의 비교를 하고 있습니다.