5. 선형 변환

5.1 행렬 변환

일반변환

$ T : A \rightarrow B $으로 표시되는 집합 A로부터 B까지의 변환(map, function) T는 A의 각각의 원소 a를 B의 일의적인 원소 b에 대응시키는 규칙이다. b를 T아래의 a의 상(image)이라한다. T(a) = b 이라고 쓰고 a를 T(b)로 사상한다고 한다. A를 T의 정의역(domain) B는 T의 공변역(codomain)이라고 한다. A의 원소의 모든 상으로 구성되어있는 B의 부분 집합을 치역(range)이라 하고 그것은 R(T) 혹은 T(A)로 표시한다. A는 2개 또는 그 이상의 원소가 같은 상을 갖는 것이 가능하고, 두 변환 $T_1, T_2 : A \rightarrow B $가 일치한다라는 것은 그것들의 대응하는 상이 같을 때이다. 즉, $T_1(a) = T_2(a)$ 이다.

행렬변환

정의 행렬변환

행렬변환 T는 변환 $ T: R^n \rightarrow R^m $으로서 모든 $ x \in R^n$에 대하여 m * n 행렬 A가 존재하여 $ T(x) = Ax $를 만족한다. A를 T의 (표준)행렬 이라고 한다.

정리 1

만약 T(X) = Ax 가 임의의 행렬변환이면, R(T) = Col(A) 이다.

정리 2

임의의 행렬 변환 $ T: R^n \rightarrow R^m, T(x) = Ax $는 다음을 만족한다.

1. 모든 $ x, y, \in R^n $에 대하여 $ T(x+y) = T(x) + T(y) $이다.
2. 모든 $x \in R^n $와 모든 스칼라 c에 대하여 $ T(cx) = cT(x) $이다.

평면의 몇개의 행렬변환

평면의 기하학적 행렬변환 $ R^2 \rightarrow R^2 $에서의 반사, 축소-확대, 층밀리기, 회전, 사영을 예로 들어보자.

반사

$$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

축소-확대

$$\begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}$$

층밀리기

x축 방향으로

$$\begin{bmatrix} 1 & c \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

혹은 y축 방향으로

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{bmatrix}$$

회전

$$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

사영

x축에 대하여

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

y축에 대하여

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

5.2 선형변환

정의와 예

정의 선형변환

V와 W를 두 벡터공간이라고 하자. V에서 W로의 선형변환(또는 선형사상)은 변환 $ T : V \rightarrow W $ 으로서 V의 모든 벡터 u, v와 임의의 스칼라 c에 대하여 다음을 만족한다.

1. $ T(u+v) = T(u) + T(v) $
2. $ T(cu) = c T(u) $

선형변환 $ T : V \rightarrow V $인 T를 V의 선형연산자(linear operator)이라고 한다.

선형변환의 성질

정리 3

$ T: V \rightarrow W $가 선형변환일 필요충분조건은 모든 벡터 $ v_1, v_2 \in V $와 모든 스칼라 $C_1, C_2$에 대하여 $ T(C_1 v_1 + C_2 v_2) = C_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) $를 얻는 것이다.

정리 4

$ T: V \rightarrow W $가 선형변환이면 다음이 성립한다.

1. $ T(0) = 0 $
2. $ T(u - v) = T(u) - T(v) $

V의 모든 벡터를 W의 0으로 사상하는 변환 $ 0 : V \rightarrow W $를 영변환이라고 한다.
V의 모든 벡터를 자신에게 사상하는 변환 $ I: V \rightarrow V$를 V의 항등변환이라고 한다.

기저에 대한 변환값에서 선형사상의 결정

선형변환의 가장 중요한 성질 중 하나는 기저에 대한 변환값만이 주어졌을 때 사상이 일의적으로 결정될 수 있다는 것이다.

$$T \begin{bmatrix} -9 \\ 6 \end{bmatrix} = T( -4 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}) = -4 T(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}) + 5 T\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

행렬연산 표기법

정리 5

$ T: V \rightarrow W $를 선형변환이라 하고 $ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $가 V를 생성한다고 하자. 그러면 집합 $ T(B) = \{ T(v_1), \dots, T(v_n) \} $은 T의 치역을 생성한다.

5.3 핵과 치역

정의 핵

선형변환 $T: V \rightarrow W $에서 T의 핵, Ker(T), 는 W의 영으로 사상되는 V의 모든 벡터로 구성되어있다.

$$\text{Ker}(T) = \{ v \in V, T(v) = 0 \in W \}$$

T의 치역 R(T)는 W에 속하는 T의 모든 상이므로 T의 Ker(T)와 R(T)는 모두 공집합이 아니다.
$ T(0) = 0 $는 Ker(T)에 속하지만, $ 0 \in W $은 R(T)에 속한다.

정리 6

$ T: V \rightarrow W $를 선형변환이라고 하면 다음이 성립한다.

1. Ker(T)는 V의 부분공간이다.
2. R(T)는 W의 부분공간이다.

정리 7

$ T: R^n \rightarrow R^n $을 표준행렬이 A인 행렬변환이라고 하면, 다음이 성립된다.

1. Ker(T) = Null(A)
2. R(T) = Col(A)
3. 영공간차원(T) = 영공간차원(A)
4. 계수(T) = 계수(T)

정리 8 차원정리

만약 $ T: V \rightarrow W $가 유한차원 벡터공간 V에서 벡터공간 W으로의 선형변환이면 다음이 성립한다.
영공간차원(T) + 계수(T) = dim V

일대일 사상, 위로의 사상, 동형사상

정의 일대일

변한 T가 일대일이다라는것은 치역의 각각의 원소 b에 대하여 상이 b = T(a)인 원소가 꼭 하나 존재할 때이다.

$$T(a_1) = T(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$$

$$a_1 \neq a_2 \Rightarrow T(a_1) = T(a_2)$$

정의 위로의

변환 $ T: A \rightarrow B $가 위로의 사상이다라는 것은 그것의 치역과 공번역이 일치할 때이다. R(T) = B

정리 9

T가 선형변환이라면,
T가 일대일이다 $ \Leftrightarrow \text{Ker}(T) = { 0 } $이다.

정리 10

일대일 선형 변환은 일차독립인 집합을 일차독립인 집합으로 사상한다.

정리 11

$ T: V \rightarrow W $를 dim(V) = dim(W)인 두 유한차원 벡터공간 V, W사이의 선형변환이라고 한다면,
T가 일대일이다 $ \Leftrightarrow $ T는 위로의이다.

정의 동형사상

두 벡터공간 사이의 선형변환이 일대일이고 위로의 일 때를 동형(isomorphism)사상 이라고 한다. 두 벡터공간이 동형이라고 하는 것은 두 공간 사이에 동형사상이 존재할 때이다. 동형인 공간은 같다고 생가한다. 왜냐하면 원소 하나에 하나가 대응하고 벡터공간 연산은 일차독립성을 통하여 보전된다.

정리 12

V와 W를 유한차원 벡터공간이라고 하자. 그러면
V와 W가 동형이다 $ \Leftrightarrow $ dim(V) = dim(W)

5.4 선형변환의 행렬

정리 13 선형변환의 행렬

$ T: V \rightarrow W $를 두 유한차원 벡터공간 V와 W 사이의 선형변환이라고 하자. $ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $을 V의 기저라 하고 $ B' = \{ v_1', \dots, v_m' \} $을 W의 기저라고 하자.

$$[T(v_1)]_{B'}, \dots, [T(v_m)]_{B'}]$$

을 열로 가지는 m * n 행렬 A는 모든 $ v \in V $ 에 대하여

$$[T(v)]_{B'} = A[v]_B$$

를 만족시키는 유일한 행렬이다.

정의

정리 13의 행렬 A를 B와 B’에 관한 T의 행렬이라고 한다. 만약 V = W이고 B = B’ 이면 A를 B에 관한 T의 행렬이라고 한다.

정리 14

모든 선형변환 $ T : R^n \rightarrow R^m $은 행렬변환이다.

정리 15

$ T: V \rightarrow W $를 두 유한차원 벡터 공간 V와 W 사이의 선형변환이라고 하자. A를 기저 $ B = \{ v_1, \dots, v_n \} \subseteq V$ 와 $B' = \{ v_1', \dots, v_m' \} \subseteq W$에 관한 T의 행렬이라고 하자.

1. v가 Ker(T)에 속할 필요충분조건은 $ [v]_B $가 A의 영공간의 속한다.
2. W가 T의 치역에 속할 필요충분조건은 $ [W]_{B'} $가 A의 열공간에 속한다.

정리 16

1. T가 일대일이다 $ \Leftrightarrow $ A는 n개의 피보트를 가진다.
2. T가 위로의 이다 $ \Leftrightarrow $ A는 m개의 피보트를 가진다.
3. T가 동형사상이다. $ \Leftrightarrow $ A는 가역이다.

기저의 변경과 선형변환의 행렬

정리 17

$ T: V \rightarrow V $를 유한차원 벡터공간 V에 자신으로의 선형변환이라고 하자. B와 B’를 V의 두 기저라 하고 P를 B’에서 B으로의 추이행렬이라고 하자. 만약 A를 B에 관한 T의 행렬이고 A’가 B’에 관한 T의 행렬이면 $ A= P^{-1}AP $ 이다.

정의 상사해렬

A와 B를 두 n * n 행렬이라고 하자. B는 A에 상사(Similar)이다라는 것은 가역인 행렬 P가 존재하여 $ B = p^{-1}AP $를 만족할 때이다.

5.5 선형변환의 대수

합과 스칼라 곱

$ f, g : V \rightarrow W $를 선형변환이라고 하자. f와 g의 합 f + g는 모든 $ v \in V $에 대하여 $ (f + g) (v) = f(v) + g(v) $으로 정의되는 사상, $ f + g : V \rightarrow W $이다.

또한 c를 임의의 스칼라라고 하자. f의 c의 스칼라배 cf는 모든 v에 대하여 $$ ((cf))(v) = cf(v) $$ 으로 정의되는 사상 $ cf: V \rightarrow W $이다.

정리 18

f + g 와 cf는 선형변환이다.

정리 19: 가법과 스칼라곱의 법칙

f, g, h를 아래의 연산이 수행될 수 있는 선형변환이라고 하자. c를 임의의 스칼라라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. (f + g) + h = f + (g + h)
2. f + g = g + f
3. f + 0 = 0 + f = f
4. f + (-f) = (-f) + f = 0
5. c (f + g) = cf + cg
6. (a + b)f = af + bf
7. (ab)f = a(bf) = b(af)
8. 1f = f
9. 0f = 0

선형변환의 합성

정의: 합성

$ g: U \rightarrow V$와 $f: V \rightarrow W$를 선형변환이라고 하자. g에 f의 합성은 모든 $ v \in U $에 대하여

$$f \circ g (v) = f(g(v))$$

으로 정의되는 사상 $ f \circ g : U \rightarrow W $ 이다.

정리 20

$ f \circ g : U \rightarrow W $는 선형변환이다.

정리 21: 합성의 법칙

f, g, h를 아래의 연산이 수행될 수 있는 선형변환이라고 하자. c를 임의의 스칼라라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. $ (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) $
2. $ f \circ ( g+ h ) = f \circ g + f \circ h $
3. $ (g + h) \circ f = g \circ f + h \circ f $
4. $c ( g \circ h ) = (cg) \circ h = g \circ (ch) $
5. $ I \circ f = f \circ I = f$
6. $ 0 \circ f = 0, f \circ 0 = 0 $

선형변환의 거듭제곱

$ f: V \rightarrow V $를 선형변환이라 하면, 합성변환을 거듭제곱으로 표시할 수 있다.

$$f^0 = I, f^1 = f, f^2 = f \circ f, \dots, f^k = f \circ f \circ \dots \circ f$$

선형변환과 행렬연산

선형변환 $ f: V \rightarrow V $ 는 모든 $ x \in V$에 대하여 $ [f(v)]_{B'} = A[v] $ 에 의하여 행렬변환으로 표시될 수 있다. 여기서 B와 B’는 각각 V와 W의 고정된 기저이다. A는 B와 B’의 관한 f의 행렬이다.

$$A = [[f(v_1)]_{B'}, \dots, [f(v_n)]_{B'}]$$

정리 22

f와 g를 유한차원벡터공간 사이의 선형변환으로서 고정된 기저에 관한 행렬을 A, B이라고 하자. 그러면 선형변환의 행렬은 다음과 같다.

1. f + g는 A + B이다.
2. f - g는 A - B이다.
3. -f 는 -A이다.
4. cf 는 cA 이다.
5. $ f \circ g $는 AB이다.

가역선형변환

정의

선형변환 $ f: V \rightarrow V $가 가역이다라는 것은
$ f \circ g = I$와 $g \circ f = I$ 를 만족하는 사상 $ g: V \rightarrow V$가 존재할 때이다. 사상 g를 f의 역이라 한다. 역이 존재한다면 이것은 일의적이고, 그거을 $ f^{-1} $으로 표시한다.

$$f \circ f^{-1} = I, f^{-1} \circ f = I$$

정리 23

$ f: V \rightarrow V $를 선형변환이라고 하자. 다음이 성립한다.

1. f가 가역일 필요충분조건은 f는 동형사상이다.
2. 만약 f가 가역이면 $ f^{-1} $는 선형이다.

정리 24

$ f: V \rightarrow V $를 V의 기저 B와 B’에 관한 행렬 A를 가지는 선형변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. f가 가역일 필요충분조건은 A가 가역이다.
2. 만약 f가 가역이면 $ A^{-1} $는 B’와 B에 관한 $ f^{-1} $의 행렬이다.

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