Development of a non-uniform discrete Fourier transform based high speed spectral domain optical coherence tomography system
[cite]dx.doi.org/10.1364/OE.17.012121[/cite]
1. Introduction
Time-domain Optical coherence tomography (TD-OCT)보다는 많은 장점을 가진 Spectral-domain OCT이지만 여전히 몇가지 문제점이 있는데 그 중 하나가 sensitivity fall-off 문제이다. 이 문제는 사실 스펙트로미터의 품질로부터 결정되는 부분으로 스펙트로미터를 직접 제작하여 사용함으로써 증상을 완화시킬 수 있다.
한가지 또 다른 요인은 바로 이미지 재구성 방법이다. SD-OCT에서 이미지를 재구성 하기 위해 DFT를 올바르게 사용하려면 파형 데이터가 wavenumber k에 선형이도록 샘플링되어야한다. 하지만 일반적으로 스펙트로미터의 구조상 wavenumber가 아닌 wavelength $ \lambda $에 대해 선형이므로 주로 캘리브레이션 작업을 통하여 DFT 이전에 interpolation 작업을 거친 뒤 계산에 이용하고 있다.
하지만 k와 $ \lambda $는 반비례 관계인 이유로 k의 범위에 따라 샘플링 간격이 다르기 때문에 interpolation 과정에서 손실되는 신호는 sensitivity의 저하를 가져온다. 이를 해결하기 위하여 filter bank를 이용하거나 추가적인 프리즘을 이용하는 방법이 제안되었으나 현실적으로 적용하기 힘들다.
이러한 문제를 해결하기 위하여 이 논문에서는 캘르브레이션 이후 sensitivity fall-off를 감소시키기 위한 이미지 재구성 방법을 제안한다.
2. Principle and simulation
일반적인 SD-OCT의 재구성 식은 아래와 같다.
$$FT^{-1}[I(k)] = \Gamma(z) \otimes \{ R_r \delta(0) + \sum_n R_n \delta(0) + 2 \sqrt{R_r} \sum_n \sqrt{R_n} \delta(z \pm z_rn) \} \\+ 2 \sum_n \sum_{m \neq n} \sqrt{R_n R_m} \delta(z \pm z_{nm})$$
샘플링한 파형에 DFT를 수행하면 간단히 깊이 방향의 신호를 얻을 수 있으나 앞에서 이야기한 바와 같이 k 공간에 선형으로 샘플링된 데이터가 있어야 하기 때문에 리샘플링이나 interpolation 과정이 필요하다. 한편, 이러한 과정을 거치지 않기 위하여 Non-uniform discrete Fouriere transform (NDFT) 를 이용하는 방법이 있다.
$$A(z_m) = \sum_{i=0}^{N-1} I(k_i) exp({-j\frac{2 \pi}{\Delta K}k_i m}), m = 0, 1, ..., N-1$$
여기서 $ z_m $은 깊이 방향의 위치이고, $ \Delta K $는 wavenumber의 범위, $ I(k_i) $는 각 CCD카메라의 i위치의 샘플링된 신호이다. 위의 식은 곧 행렬식으로 나타낼 수 있다.
$$A = DI$$
$$A = \begin{bmatrix} A(z_0) \\ A(z_1) \\ \vdots \\ A(z_{N-1}) \end{bmatrix}$$
$$I = \begin{bmatrix} I(k_0) \\ I(k_1) \\ \vdots \\ I(k_{N-1}) \end{bmatrix}$$
$$D = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\
p_0^{-1} & p_1^{-1} & \dots & p_{N-1}^{-1} \\
p_0^{-2} & p_1^{-2} & \dots & p_{N-1}^{-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
p_0^{-(N-1)} & p_1^{-(N-1)} & \dots & p_{N-1}^{-(N-1)}
\end{bmatrix}$$
$$\begin{matrix} p_n = exp(j \frac{2\pi}{\Delta K} k_i), & i = 0, 1, \dots, N-1 \end{matrix}$$
D는 Vander monde matrix라 불리며, CCD에서의 wavelength 분포에 대한 정보를 가지고 있다. 스펙트로미터의 캘리브레이션이 끝나고 나면 이 D 행렬 또한 결정되므로 미리 계산해두어 저장해둘 수 있다. 깊이 정보는 이 D와 파형 데이터의 행렬곱으로 계산해낼 수 있다.
논문에 NDFT와 interpolation 방법 간의 sensitivity fall-off 현상에 대한 시뮬레이션 결과가 나타나 있으니 참고하도록 하자.