선형대수 (2)
![]() 선형대수, George Nakos 지음, 김철언 외 옮김/인터비젼 |
2. 벡터
2.1 벡터 연산
덧셈과 스칼라곱
벡터의 크기, 성분.
벡터 덧셈, 덧셈의 평행사변형 법칙.
n-벡터에서 i번째 성분은 1이고 나머지 성분은 모두 0인 벡터를 $ e_i$로 표시하고 이를 표준 기저벡터라고 한다.
정리: 벡터 덧셈과 스칼라 곱의 법칙
벡터의 수열로서의 행렬
행렬을 벡터의 수열로 간주하는 경우가 많다.
$$v_1 = \big[ 1 ; 2 \big], v_2 = \big[ 3 ; 4 \big], v_3 = \big[ 1; 2 \big] \\
\big[ v_1, v_2, v_3 \big] = \begin{bmatrix} 1 &3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}$$
일차결합
정의: 일차결합
$ v_1, \dots, v_n $을 n-벡터라 하고, $ c_1, \dots, c_n $을 스칼라라고 하면,
$ c_1, v_1 + c_2, v_2, + \dots, c_n v_n $인 꼴의 n-벡터를 $ v_n$의 일차결합이라고 한다. 이 때 $ c_n $들은 그 일차 결합의 계수라고 한다.
벡터방정식으로서 연립일차방정식
벡터 방정식 $ c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = u $는 확대 계수행렬이 $ v_1, v_2, v_3, u $를 열로 가지는 연립방정식과 동치이다.
연립일차방정식과 일차결합 사이의 관계
미지수 $ x_1, x_2, \dots, x_n $, 계수행렬 $ A $, 상수항이 벡터 $ b $인 연립방정식을 생각해본다면 다음과 같은 동치관계가 있다.
$ [ A: b ] \Leftrightarrow x_1 a_1 + x_2 a_2 + \dots + x_n a_n = b $
중요한 질문 이론과 실제에서 모두, 모든 b에 대하여 확대계수행렬 [A : b] 를 가지는 연립방정식은 비모순체계라고 할 수 있는가? 이것은 한번 더 행간소화를 해봄으로써 답할 수 있다.
정리2
A를 m * n 행렬이라고 한다면 다음은 동치이다.
- 확대계수행렬이 [A: b]인 연립일차방정식은 모든 벡터 $ b \in R^m $에 대하여 비모순체계이다.
- 모든 벡터 $ b \in R^m $은 A의 열의 일차결합이다.
- A는 m피보트 위치를 가진다. 또는 각 행은 피보트 위치를 갖는다.
자유벡터
크기와 방향에 의해서만 결정.
2.2 닷곱
정의: 닷곱
$u = (u_1, \dots, u_n), v = (v_1, \dots, v_n) $를 임의의 두 n-벡터라고 하자. u와 v의 닷곱 $ u \cdot v $는 다음의 수이다.
$$u \cdot v = u_1 v_1 + \dots + u_n v_n$$
만약 두 벡터의 닷곱이 0이면 두 벡터는 직교한다고 한다. 또한 n-벡터 u의 놈 길이 또는 크기는 양의 제곱근 $ ||u|| = \sqrt{u \cdot u} = (u_1^2 + \dots + u_n^2)^{1/2} $ 이다. 또한 u와 v 사이의 (유클리드) 거리는 $ d = || u - v || $ 으로 정의한다.
길이가 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
정리 3: 주어진 방향의 단위벡터
$ v = (v_1, \dots, v_n) $을 영이 아닌 벡터라 하고 u를 v의 방향의 단위벡터라고 하자. 그러면,
$$u = \frac{1}{||v||} v = (\frac{v_1}{||v||}, \cdots, \frac{v_n}{||v||})$$
정리 4: 닷곱의 성질
- $ u \cdot v = v \cdot u $
- $u \cdot (v + w) = u \cdot w + v \cdot w $
- $c(u \cdot v) = (c u) \cdot v = u \cdot (c v) $
- $ u \cdot v \geq 0, \text{futhermore } u \cdot v = 0 \Leftrightarrow u = 0 $
정리 5
$ || u +v ||^2 = ||u ||^2 + || v ||^2 + 2 u \cdot v $
$ || u -v ||^2 = ||u ||^2 + || v ||^2 - 2 u \cdot v $
정리 6: 코시-슈바르츠 부등식
$ |u \cdot v | \lte ||u|| ||v|| $
서로 같으려면 u와 v가 서로의 배수이어야 한다.
정리 7: 삼각부등식
$ || u + v || \leq ||u|| + ||v || $
두 n-벡터 사이의 각
$ \cos \theta = \frac{u \cdot v}{ ||u|| ||v|| } $
혹은,
$ u \cdot v = ||u||||v|| cos \theta $
정리 8: 피타고라스 정리
n-벡터 u, v가 직교 한다 $ \Leftrightarrow ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 $
직교사영
닷곱은 임의의 n-벡터를 직교벡터의 합으로 표시하기 위해 사용할 수 있다. u, v를 주어진 영이 아닌 벡터라고 하자.
u를 서로 직교하는 두 벡터의 덧셈으로 $ u = u_{pr} + u_c $ 으로 표시하고 싶다. 그리고 $ u_{pr} = c \cdot v $와 같이 v의 스칼라배이다. 이 때, $ u_{pr} $ 은 v위에서의 u의 직교사영이라 하고, $u_c $를 v에 직교하는 u의 벡터 성분이라고 한다.
$$u \cdot v = (u_{pr} + u_c) \cdot v \\
= u_{pr} \cdot v + u_c \cdot v \\
= (cv) \cdot v + 0 \\
c(v \cdot v) \\
\Rightarrow c = \frac{u \cdot v} {v \cdot v}$$
2.3 생성
정의: 생성
n-벡터 $ v_1, \dots, v_k $의 모든 일차결합의 집합을 $ v_1, \dots, v_k $의 생성이라고 하고 $ \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $으로 표시한다. 만약 $ V = \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $이라면 $ v_1, \dots, v_k $ 는 $ V $를 생성한다고 하고 $\{ v_1, \dots, v_k \} $를 $ V $의 생성집합이라고 한다.
정리 9: 생성집합의 간소화
만약 m-벡터 $ v_1, \dots, v_k $ 중 하나가 나머지의 일차결합이면, 그 생성은 이 벡터를 제거할 때의 생성과 같다.
정리 10
$ V = \text{Span} \{ v_1, \dots, v_k \} $ 이라고 하자. $ V $의 임의의 $ u $, $ v $와 임의의 스칼라 c에 대하여 다음이 성립한다.
- $ u + v \in V $ 이다.
- $c v \in V $ 이다.
생성과 연립일차방정식과의 관계
벡터 $ b \in R^m $이 벡터 $ v_1, \dots, v_n $의 일차결합이라고 하는 것은 $ b \in \text{Span} \{ v_1, \dots, v_n \} $이라고 하는 것과 동치이다. 따라서,
- 확대계수행렬이 [A : b]인 연립방정식이 비모순체계이다. $ \Leftrightarrow b \in \text{Span} \{ v_1, \dots, v_n \} $
- 모든 벡터 $ b \in R^m $에 대하여 [A : b]가 비모순체계이다. $ \Leftrightarrow \text{Span} \{ v_1, \dots, v_n \} = R^m $
이것이 참일 필요충분조건은 A의 각각의 행은 피보트 위치를 갖는다이다.
Span{u}와 Span{u, v}의 기하학적 해석
$ \text{Span} \{ u \}, u \neq 0 $
- 임의의 스칼라 값 $c$에 대하여 $cu$는 $u$를 방향으로 원점을 지나는 직선의 모든 점을 지난다.
- 원점을 지나는 임의의 직선은 그 직선 위의 임의의 영 아닌 벡터를 $u$로 놓음으로써 $ \text{Span} \{ u \} $으로 쓸 수 있다.
$ \text{Span} \{ u, v \}, u \neq 0 $
- 만약 $ v $ 가 $ u $의 스칼라 배이면, $ \text{Span} \{ u, v \} = \text{Span} \{ u \} = l $
- 만약 $ v $ 가 $ u $의 스칼라 배가 아니면, $ v \neq 0 $이고, $ \text{Span} \{ u, v \} $는 $ u, v $ 모두를 포함하는 원점을 지나는 평면이다.
2.4 일차독립
n-벡터 $ v_1, \dots, v_k $의 일차결합,
$$c_1 v_1 + \dots, c_k v_k$$
가 비자명이라는 것은 $ c_1, \dots, c_k$가 모두 영이 아닐 때이다. 모든 계수가 영인 일차결합을 자명이라고 한다.
정의
n-벡터 $ v_1, \dots, v_k$의 수열이 일차종속이다 하는 것은 $ c_1 v_1 + \dots + c_k v_k = 0 $을 만족하는 0이 아닌 스칼라가 존재할 때이다.
n-벡터의 집합이 일차독립이다라는 것은 일차종속이 아닐 때이다. 다시 말하면 $ c_1 v_1 + \dots + c_k v_k = 0 $을 만족하는 스칼라들이 모두 0인 것과 같다.
정리 11
영이 아닌 두 n-벡터의 경우, 다음 명제는 동치이다.
- 이 벡터는 일차종속이다.
- 한 벡터는 다른 벡터의 스칼라배이다.
- 두 벡터 사이의 각은 0 혹은 $ \pi $이다.
정리 12: 일차종속의 판정
다음은 동치이다.
- m-벡터의 집합 $ \{ v_1, v_2, \dots, v_n \} $은 일차독립이다.
- 연립방정식은 자명해 $ [ v_1, \dots, v_n : 0 ] $만을 가진다.
- 행렬은 n피보트 위치 $ [ v_1, \dots, v_n ] $를 가진다.
정리 13
만약 m-벡터의 집합 $ \{ v_1, \dots, v_n \} $이 일차독립이면 $ n \leq m $이다.
정리 14: 일차종속의 판정법
S를 유한집합 혹은 m-벡터의 수열이라고 한다면 다음이 성립한다.
- 만약 S가 하나의 벡터 v로 되어있다면, S는 일차종속 $ \Leftrightarrow v = 0 $ 이다.
- 만약 S가 두개 이상의 벡터로 구성되어있다면, S는 일차종속 $ \Leftrightarrow $ 적어도 한 벡터는 나머지 벡터의 일차결합이다.
- 만약 S가 두개 이상의 벡터 $v_1, \dots, v_k (v_1 \neq 0 ) $로 구성되어있다면, S는 일차종속 $ \Leftrightarrow $ 적어도 한 벡터는 그것의 앞 벡터의 일차결합이다.
정리 15
- 0을 포함하는 임의의 유한집합 또는 벡터의 수열은 일차종속이다.
- 반복되는 벡터가 있는 유한 수열은 일차종속이다.
- 일차종속인 집합(수열)을 포함하는 벡터의 임의의 유한집합(수열) 자신도 일차종속이다.
- 일차독립인 유한집합의 임의의 부분집합 자신도 일차독립이다.
정리 16
$ S = \{ v_1, \dots, v_n \} $을 m-벡터의 일차독립인 집합이라고 하자.
- S의 Span에 속하는 임의의 벡터 v는 S의 벡터의 단 한가지의 일차 결합으로 생성된다.
- 만약 v가 S의 span에 속하지 않는다면 집합 $\{ v_1, \dots, v_n, v\} $는 일차독립이다.
$ R^2 $과 $ R^3 $에서의 일차독립의 기하학적 해석
- $ R^2 $ 또는 $ R^3 $ 의 영 아닌 두 벡터가 일차종속이다. $ \Leftrightarrow $ 그 벡터는 원점을 지나는 같은 직선 위에 있다.
- $ R^3 $ 의 세 벡터가 일차종속이다 $ \Leftrightarrow $그 벡터는 원점을 지나는 같은 평면 위에 있다.
- $ R^2 $ 또는 $ R^3 $ 의 두 벡터의 생성은 벡터가 일차종속일 때 원점을 지나는 직선이다. 또는 벡터가 일차독립일 때 벡터에 의해 정으되는 평면이다.
- 일차독립인 두 2-벡터의 생성은 $ R^2 $ 이다.
- 일차독립인 두 3-벡터의 생성은 $ R^3 $ 이다.
- $ R^3 $ 의 임의의 일차독립인 집합은 최대 세 벡터를 갖는다.
- $ R^2 $ 의 임의의 일차독립인 집합은 최대 두 벡터를 갖는다.
- $ R^2 $ 를 생성하는 임의의 집합은 적어도 두 벡터를 갖는다.
- $ R^3 $ 를 생성하는 임의의 집합은 적어도 세 벡터를 갖는다.
2.5 곱 Ax
만약 $ A= \begin{bmatrix} -2 & 5 & -3 \\ 4 & 7 & 0\end{bmatrix} $ 이고, $ x= \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} $ 이면 곱 $ Ax $는 일차결합
$$-3 \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 5 \\ 7\end{bmatrix} +5 \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$
이다. 즉 A의 열과 x로 이루어지는 계수로 생성된다.
정의
A를 열이 $a_1, \dots, a_n$인 m * n 행렬이라고 하고, x의 성분이 $ x_1, \dots, x_n $인 n-벡터라고 할 때, 행렬곱 Ax는 일차결합 $ Ax = x_1 a_1 + \dots, x_n a_n $으로 표시되는 m-벡터이다.
x가 A에 의해 $ R^n $에서 $ R^m$으로 변화한다는 것에 주목하자. 이 때 A는 둘 사이의 대응을 결정한다.
열이 $ e_1, \dots, e_n$인 n * n 행렬을 항등행렬이라고 하고 $I_n$이나 $I$로 표시한다.
정리 17
A를 m * n 행렬, x, y를 n-벡터, c를 임의의 스칼라라고 하면 다음이 성립한다.
- $ A(x+y) = Ax + Ay$
- $ A(cx) = c(Ax) $
- $ I_n x = x $
방정식 Ax = b
연립일차방정식은 Ax = b로 쓸 수 있다. 여기서 A는 계수행렬, b는 상수항 벡터, x는 미지수 벡터이다.
$$[A : b] \Leftrightarrow Ax = b \Leftrightarrow x_1 a_1 + \dots + x_n a_n = b$$
위의에서 다음 명제는 동치이다.
- [A : b]는 비모순체계이다.
- Ax = b를 만족하는 벡터 x가 존재한다.
- b는 A의 열의 일차결합이다.
- b는 A열의 Span에 속한다.
영공간
m * n 행렬 A의 영공간 Null(A)는 Ax = 0을 만족하는 모든 n-벡터 x로 구성된다.
$$\text{Null}(A) = \{ x \in R^n Ax = 0 \}$$
정리 18
A를 m * n 행렬이라고 하자. 임의의 $ x_1, x_2 \in \text{Null}(A) $과 스칼라 c에 대하여 다음이 성립한다.
- $ x_1 + x_2 \in \text{Null}(A) $
- $ c x_1 \in \text{Null}(A) $
Ax = b와 Ax = 0의 해
정리 19
S를 Ax = b의 해집합이라 하고 $ p \in S $이라고 하자. 그러면
$ S = p + \text{Null}(A) $ 이다.
Ax의 행-벡터 계산
곱 Ax에서 때때로 한 성분, A의 i행과 x를 택하여 곱한 뒤 더할 때도 있음.
닷곱으로써의 Ax
Ax는 A의 각 행과 x의 닷곱을 성분으로 하는 벡터이다.
$$Ax = \begin{bmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_m \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} r_1 \cdot x \\ \vdots \\ r_m \cdot x \end{bmatrix}$$
2.6 크로스 곱
오른손 좌표계와 왼손 좌표계
3-공간에서는 오른손 좌표계와 왼손 좌표계의 두 종류가 존재한다.
행렬식 표기법
2 * 2 행렬의 행렬식
$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$$
3 * 3 행렬의 행렬식
$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} &=
a_1 \begin{bmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{bmatrix} - b_1 \begin{bmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{bmatrix} \\
&= a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2c_3 - c_2 a_30 + c_1(a_2b_3 - b_2 a_3) \end{aligned}$$
크로스곱
정의: 크로스 곱
$ u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3) $인 두 벡터의 크로스 곱은 $u \times v = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1) $인 벡터이다.
정리 20: 크로스 곱의 성질
공간벡터 $ u, v, w $와 c를 임의의 스칼라라고 하면 다음이 성립한다.
- $ u \times v = -v \times u $
- $ u \times (v + w) = u \times v + u \times w $
- $ (u + v) \times w = u \times w + v \times w $
- $ c (u \times v) = (cu) \times v = u \times (cv) $
- $ 0 \times u = u \times 0 = 0 $
- $ u \times u = 0 $
- $ u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w $
- $ u \cdot (v \times w) = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} $
만약 u, v가 영이 아닌 벡터이면 $ u \times v $의 방향은 u, v에 의해 정의되는 평면에 수직이고 세 벡터는 오른손 좌표계를 형성한다.
정리 21: 크로스 곱의 길이
$ || u \times v ||^2 = ||u||^2 ||v||^2 - (u \cdot v)^2 $ : 라그랑즈의 항등식
$ || u \times v || = || u || || v || \sin \theta $
따름정리 22
$ || u \times v || \leq || u || || v || $
따름정리 23: 두 벡터의 평행 판정법
영 아닌 두 벡터 u, v 가 평행이다 $ \Leftrightarrow u \times v = 0 $
기하학의 응용
정리 24: 정육면체의 부피
위치 벡터 u, v, w를 이웃하는 변으로 하는 평행육면체의 부피 V는 $ V = | u \cdot (v \cdot w) | $ 이다.
정리 25: 세 벡터의 공면 판정법
벡터 u, v, w 가 같은 평면에 있다 $ \Leftrightarrow u \cdot (v \times w) = 0$ 이다.
2.7 선, 평면과 초평면
직선
영 아닌 벡터 $n = (a, b, c)$에 평행이고 주어진 점 $ p(x_0, y_0, z_0) $을 지나는 직선은, 적당한 스칼라 t에 대해서
$$x = p + tn$$
으로 나타내고 이를 직선의 매개변수방정식이라고 한다. 그리고 t는 방정식의 매개변수이다.
평면
영 아닌 벡터 $ n = (a, b, c)$가 평면 P의 법선이다 라는 것은 그것이 P의 수직일 때이다. 평면 P 위에서 주어진 점 $ p = (x_0, y_0, z_0 )$, 임의의 다른 점 $ x = (x, y, z) $이 있다면, $ x - p $는 평면 P에 평행하고 법선 n에 직교한다. 따라서 x-p와 n의 닷곱은 0이다.
$$n \cdot (x - p) = 0 \\ a(x-x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$$
이 식은 평면 P위의 한 점 p와 법선벡터 n으로 평면 위의 모든 점 x에 대해 성립하므로 이를 점-법선형의 평면 P의 방정식이라고 한다.
정리 26: 평면의 방정식
만약 $ (a, b, c) \neq = 0$이면, 방정식 $ ax + by + cz = d $의 그래프는 법선이 $(a, b, c)$인 평면이다.
정의
두 평면 사이의 각은 평면의 두 법선 사이의 각으로 정의한다.
$ R^n $에서의 직선과 초평선
앞의 직선과 평면의 방정식을 n-벡터로 확장시키면 $R^n$에서의 직선과 초평면의 방정식이 된다.